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常見表達形式為a+bi (a, b∈R, i²=-1) 的數 来自维基百科,自由的百科全书
复数,为实数的延伸,它使任一多项式方程都有根。复数当中有个“虚数单位”,它是的一个平方根,即。任一复数都可表达为,其中及皆为实数,分别称为复数之“实部”和“虚部”。
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复数的发现源于三次方程的根的表达式。数学上,“复”字表明所讨论的数域为复数,如复矩阵、复变函数等。
形式上,复数系统可以定义为普通实数的虚数i的代数扩展。这意味着复数可以作为变量i中的多项式进行加,减和乘,并施加规则。此外,复数也可以除以非零复数。总体而言,复数系统是一个域。
在几何上,复数通过将水平轴用于实部,将垂直轴用于虚部,将一维数线的概念扩展到二维复平面。这些数字的点位于复平面的垂直轴上。虚部为零的复数可以看作是实数。
但是,复数允许使用更丰富的代数结构,其中包括在向量空间中不一定可用的附加运算。例如,两个复数的乘积总是再次产生一个复数,并且不应将其误认为是涉及向量的常规“乘积”。
最早提到有关负数的平方根的文献出于公元1世纪古希腊数学家亚历山大的希罗,他考虑的是一种不可能的平顶金字塔的域积,计算结果会是 ,但这对他是不可理解的,所以他只单纯地把为正的。[1]
16世纪意大利数学家(请参看塔塔利亚和卡尔达诺)得出一元三次和四次方程式的根的表达式,并发现即使只考虑实数根,仍不可避免面对负数方根。17世纪笛卡尔称负数方根为虚数,“子虚乌有的数”,表达对此的无奈和不忿。18世纪初棣莫弗及欧拉大力推动复数的接受。1730年,棣莫弗提出棣莫弗公式:
18世纪末,复数渐渐被大多数人接受,当时卡斯帕尔·韦塞尔提出复数可看作平面上的一点。[3]数年后,高斯再提出此观点并大力推广,复数的研究开始高速发展。诧异的是,早于1685年约翰·沃利斯已经在De Algebra tractatus提出此一观点。
卡斯帕尔·韦塞尔的文章发表在1799年的Proceedings of the Copenhagen Academy上,以当今标准来看,也是相当清楚和完备。他又考虑球体,得出四元数并以此提出完备的球面三角学理论。1804年,Abbé Buée亦独立地提出与沃利斯相似的观点,即以来表示平面上与实轴垂直的单位线段。1806年,Buée的文章正式刊出,同年让-罗贝尔·阿尔冈亦发表同类文章,而阿冈的复平面成了标准。1831年高斯认为复数不够普及,他发表了一篇备忘录,奠定复数在数学的地位。[4] 柯西及阿贝尔的努力,扫除了复数使用的最后顾忌,后者更是首位以复数研究著名的。
复数吸引了著名数学家的注意,包括库默尔(1844年)、克罗内克(1845年)、Scheffler(1845年、1851年、1880年)、Bellavitis(1835年、1852年)、乔治·皮科克(1845年)及德·摩根(1849年)。莫比乌斯发表了大量有关复数几何的短文,约翰·彼得·狄利克雷将很多实数概念,例如素数,推广至复数。
费迪南·艾森斯坦研究,其中是的复根。其他如 (是素数)亦有考虑。类以推广的先锋为库默尔的完美数理论,经由菲利克斯·克莱因(1893年)以几何角度加以简化。伽罗华其后提出更一般的推广——阿贝尔-鲁菲尼定理,解决了五次以上多项式的根不能表达问题。
尽管可以使用其他表示法,复数通常写为如下形式:
这里的和是实数,而i是虚数单位,它有着性质。实数叫做复数的实部,而实数叫做复数的虚部。实数可以被认为是虚部为零的复数;就是说实数等价于复数。实部为零且虚部不为零的复数也被称作“纯虚数”;而实部不为零且虚部也不为零的复数也被称作“非纯虚数”或“杂虚数”。
例如,是复数,它的实部为3虚部为2。如果,则实部()被指示为或,而虚部()被指示为或。
复数中的虚数是无法比较大小的,即两个虚数只有相等和不等两种等量关系。
两个复数是相等的,当且仅当它们的实部是相等的并且它们的虚部是相等的。就是说,设,,,为实数,则当且仅当并且。
复数数系是一个域,复数域常以来表示。
一个实数等同于复数,故实数域为复数域的子域。虚数单位就是复数。此外,还有:
先把坐标轴画出来,横的叫实轴,竖的叫虚轴,然后确定0的位置,可以用二维空间来表示出来。
复数可以被看作在被称为阿甘得图(得名于让-罗贝尔·阿冈,也叫做高斯平面)的二维笛卡尔坐标系内的一个点或位置向量。这个点也就是这个复数可以用笛卡尔(直角)坐标指定。复数的笛卡尔坐标是实部和虚部。复数的笛卡尔坐标表示叫做复数的“笛卡尔形式”、“直角形式”或“代数形式”。
对所有及,有
当定义了距离,复数域便成了度量空间,我们亦可谈极限和连续。加法、乘法及除法都是连续的运算。
的共轭复数定义为,记作或。如图所示,是关于实数轴的“对称点”。有
对于所有代数运算,共轭值是可交换的。这即是说。一些非代数运算如正弦“”亦有此性质。这是由于的不明确选择——有二解。可是,共轭值是不可微分的(参见全纯函数)。
一复数的“幅角”或“相位”为。此值对模而言是唯一的。
对于乘法和除法分别有:
考虑一个平面。一个点是原点0。另一个点是单位1。
两个点A和B的和是点X = A + B使得顶点0, A, B的三角形和顶点X, B, A的三角形是全等的。
两个点A和B的积是点X = AB使得顶点0, 1, A的三角形和顶点0, B, X的三角形是相似的。
点A的共轭复数是点X = A*使得顶点0, 1, A的三角形和顶点0, 1, X的三角形相互是镜像。
复数也可以用极坐标来表示。所对应的极坐标由叫做绝对值或模的和叫做辐角的组成。若,不论值为何,。为了避免一个复数具有多种极坐标表示的情况,通常会设置,从而让所对应的具有唯一的值:。时,复数在辐角模以后是唯一的;就是说,对于两个被视为极坐标表示的复数而言,若它们的辐角之差是的整数倍数,则这两个复数等价。因此,通常会限制在区间内,也就是说,以此来避免一个复数具有多种极坐标表示的情况。
极坐标形式的写法
被叫做“三角形式”。有时使用符号cis φ简写cosφ + isinφ。 使用欧拉公式还可以写为
这叫做“指数形式”。
前面的公式要求非常繁杂的情况区分。但是很多编程语言提供了经常叫做atan2一个变体的反正切函数来处理这些细节。使用反余弦函数的公式要求更少的情况区分:
在极坐标形式下乘法、除法、指数和开方根要比笛卡尔形式下容易许多。
使用三角恒等式得到
和
依据棣莫弗定理做整数幂的指数运算,
任意复数幂的指数运算在条目指数函数中讨论。
两个复数的加法只是两个向量的向量加法,乘以一个固定复数的可以被看作同时旋转和伸缩。
乘以对应于一个逆时针旋转90 度( 弧度)。方程的几何意义是顺序的两个90度旋转导致一个180度(弧度)旋转。甚至算术中的都可以被在几何上被理解为两个180度旋转的组合。
任何数的所有方根,实数或复数的,都可以用简单的算法找到。次方根给出为
对于,这里的表示的主次方根。
这是个实用价值不大,但具数学意义的表达式,是将复数看作能旋转及缩放二维位置矢量的2×2实数矩阵,即是
其中及为实数。可算出此类矩阵的和、积及乘法逆都是此类矩阵。此外
即实数1对应着单位矩阵
而虚数单位对应着
此矩阵令平面作逆时钟90度旋转,它的平方就是-1。
复数的绝对值就是行列式的平方根。这些矩阵对应相应的平面变换,其旋转角度等于复数的遍角,改变比例等于复数的绝对值。复数的轭就是矩阵的转置。
满足的复数z是多项式的“根”。代数基本定理指出,所有次多项式,不管实数系数抑或复数系数的,都刚好有个复数根(重根按个计算)。这定理等价于复数域是代数闭域。
事实上,复数域是实数域的代数闭包。它是多项式环经由理想显生出的商环:
这是一个域因为为不可约多项式,而在商环内对应着虚数单位。
复数域唯一(就域同构来说)的域拥有三项代数特征:
在上不可能建立与其加法及乘法相容之全序关系,即不存在一全序使得对于任意复数,有。
计算一个实数的复数幂是可以的。可以定义为。
研究复变函数的理论称为复分析。它在应用数学和其他数学分支上都有许多实际应用。实分析和数论的结果,最自然的证明经常是以复分析的技巧完成(例子可见素数定理)。
复变函数的图像是四维的,所以不像实变函数般可以用平面图像表示。要表示复变函数的图像,可以用有颜色的三维图像表达四维信息,或者以动画表示函数对复平面的动态变换。
在系统分析中,系统常常通过拉普拉斯变换从时域变换到频域。因此可在复平面上分析系统的极点和零点。分析系统稳定性的根轨迹法、奈奎斯特图法和尼科尔斯图法都是在复平面上进行的。
无论系统极点和零点在左半平面还是右半平面,根轨迹法都很重要。如果系统极点
如果稳定系统的全部零点都位于左半平面,则这是个最小相位系统。如果系统的极点和零点关于虚轴对称,则这是全通系统。
信号分析和其他领域使用复数可以方便的表示周期信号。模值表示信号的幅度,辐角表示给定频率的正弦波的相位。
利用傅里叶变换可将实信号表示成一系列周期函数的和。这些周期函数通常用形式如下的复函数的实部表示:
其中对应角频率,复数包含了幅度和相位的信息。
电路分析中,引入电容、电感与频率有关的虚部可以方便的将电压、电流的关系用简单的线性方程表示并求解。(有时用字母作为虚数单位,以免与电流符号i混淆。)
在应用层面,复分析常用以计算某些实值的反常积分,借由复值函数得出。方法有多种,见围道积分方法。
实际应用中,求解给定差分方程模型的系统,通常首先找出线性差分方程对应的特征方程的所有复特征根r,再将系统以形为f(t)= ert的基函数的线性组合表示。
复数的平方根是可以计算的。其公式为。